摘要

针对传统层次分析法(analytic hierarchy process，AHP)易产生判断矩阵通不过一致性检验，评估周期长，单一专家评估主观性大的问题，提出了一种改进层次分析的群体决策方法。该方法通过构造几何平均超传递矩阵近似表示原始判断矩阵，几何平均超传递矩阵是通过对由原始判断矩阵构造的多个拓展矩阵进行几何平均得到的，弥补了原始判断矩阵不具备良好一致性的不足，这种方法既保留了专家的意见又能通过AHP法一致性检验。同时，将一致性比例引入群体决策中，对专家的权作用进行确定，最大限度地保证了指标权重的真实性。依据科学性、独立性、可行性、全面性等原则，构建了防空预警装备作战效能指标体系，通过构建的指标体系对装备部署方案进行了实例分析，表明该方法可行、合理、有效。

0 引言

在防空作战中，战场态势的主要信息源来自防空预警装备，高效发挥防空预警装备的作战效能对防空作战起着至关重要的作用。准确评估其作战效能对优化预警体系建设、提高装备研制水平、提高技战术参数有着深远的意义^［1］。

随着数字化时代的到来，武装装备效能评估又有许多新的研究和发展^［2］。面对复杂的武器装备系统，综合化的评估方法是当前作战效能评估的主流，其存在2个主要问题：①各分指标权重确定；②作战效能指标值的获取和解算。本文重点研究指标的权重确定，权重的确定目前使用广泛的是层次分析法（analytic hierarchy process，AHP），该方法适用多准则决策问题，是分析多指标复杂装备作战效能评估的有利工具。文献［3］基于AHP对水面舰艇防空反导作战效能进行评估，文献［4］用云模型和AHP的方法对制导弹药射击效能进行评估，文献［5］利用模糊层次分析法确定预警机效能指标权重，文献［6］用改进的灰色AHP多指标评价反导雷达早期预警能力，文献［7］引入AHP熵权法确定雷达质量指标权重，文献［8］用AHP法确定雷达装备质量指标权重，文献［9］用AHP-理想点法进行空间目标监视资源调度效能评估，文献［10］引入区间AHP法确定指标权重。这些评估方法或用单一改进AHP法，或用AHP综合其他方法对武器装备进行综合评估，但都忽略了判断矩阵一致性问题，而AHP方法核心的关键点恰恰就是需要构建合理的一致性判断矩阵。但受专家主观性的影响，判断矩阵并不一定具有良好的一致性，这时需要对判断矩阵进行修改、调整或舍弃。但修改调整的判断矩阵步长不能确定，修改后不一定收敛，专家决策者的初始意见也无法保留，这是AHP法亟需解决的问题。本文用判断拓展矩阵的几何平均超传递矩阵近似代替原始判断矩阵^［11］，以弥补原始判断矩阵不具备良好一致性的不足，并针对单一专家AHP法主观性较强的问题，引入一致性比例的群体决策，一定程度上降低了单一专家在权重确定上的主观性。

1 改进AHP的权重确定

1.1 改进AHP判断矩阵构建

AHP法层次明确，结构清晰，计算简洁，在评估领域一直有着广泛的应用。文献［12-13］已详细介绍AHP法的基本步骤，这里只做简要步骤说明。如图1所示，该方法主要步骤分为5步：

步骤1： 建立缔结层次结构模型。

步骤2： 构造判断矩阵Ak。

步骤3： 求解判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。

步骤4： 一致性检验：一致性比例CR<0.1。

步骤5： 求出归一化的特征向量就是对应指标的权重值Wk。

由以上步骤可以看出，判断矩阵不具备良好的一致性时，需返回步骤2，重新构造或调整判断矩阵，这里就包含很多不确定性。重新构造调整判断矩阵可能因为调整的步长不确定，导致判断矩阵一致性不收敛，需反复征询专家意见，循环步骤周期时间较长，不利于实际作战效能评估的时效性。因此，本文采用拓展矩阵的几何平均超传递矩阵近似代替原始判断矩阵的改进AHP方法，在保留专家原始建议的同时，又确保判断矩阵具有完全的一致性，缩短步骤周期，减少步骤循坏的不确定性。

改进AHP法步骤如图2所示。由图2可以看出，改进AHP法与AHP法前4步是相同的，不同之处关键在于未通过一致性检验后，不必返回步骤2对专家反复咨询，而是根据判断矩阵Ak构建拓展判断矩阵Ajk的几何平均超传递判断矩阵ASk，来近似替代原始判断矩阵，以解决原始矩阵Ak不能通过一致性检验的问题。求出几何平均超传递判断矩阵ASk的特征向量，再进行归一化即得到指标的权重值Wk。

设m个专家各自构造两两比较的判断矩阵Ak，k=1,2,⋯,m，aki为判断矩阵Ak的第i行。则判断矩阵Ak的表达式为

Ak=(ak1,ak2,⋯,aki,⋯,akn)^T.
（1）

构建的拓展判断矩阵A1k，A2k，⋯，Ajk，⋯，Ank。ajki为拓展判断矩阵Ajk的第i行。拓展判断矩阵Ajk表达式为

Ajk=(ajk1,ajk2,⋯,ajki,⋯,ajkn)^T，
（2）

式中：拓展判断矩阵Ajk与判断矩阵Ak每行的关系为

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ajkj=akj,ajk1=a−1kj1ajkj,ajk2=a−1kj2ajkj,⋮ajki=a−1kjiajkj,⋮ajkn=a−1kjnajkj,
（3）

式中：a−1kji表示判断矩阵Ak的第j行第i列元素的倒数。

构建几何平均超传递判断矩阵ASk，ASk中的元素aSkij(i=1,2,⋯,n;j=1,2,⋯,n)是拓展判断矩阵A1k，A2k，⋯，Ank中对应元素a1kij，a2kij，⋯，ankij相乘的几何平均数，即

aSkij=(a1kij⋅a2kij⋯ankij)1n.
（4）

几何平均超传递判断矩阵ASk与拓展判断矩阵A1k，A2k，⋯，Ank的关系为

ASk=(A1k⋅A2k⋯Ank)1n.
（5）

因为拓展判断矩阵A1k，A2k，⋯，Ank为具有完全一致性的矩阵，可以很容易证明，AS也具有完全的一致性。

计算权重向量，得到指标权重。因具有完全一致性的矩阵任意一列都可以为权重向量，只需将任意一列做归一化处理，得到权重向量Wk。

1.2 群体决策指标权重的确定

虽然解决了AHP法判断矩阵一致性通过的问题，但由于单一专家的知识结构、认知水平、个人经历、思维模式、主观经验等差异，专家不可能处在同一尺度进行评估，本文引入AHP法步骤中的一致性比例CRk数值进行群体决策，对专家的权进行确定^［14］。用一致性比例CRk来衡量给出判断矩阵的真实性和可信性，解决单一专家评判的主观性。

专家的权作用Pk的表达式为

Pk=11+γ⋅CRk, γ>0,k=1,2,⋯,m，
（6）

式中：参数γ起调节作用，在实际作战效能评估中一般γ=10。

归一化处理得到专家权重为

Pk*=Pk /∑k=1mPk.
（7）

将每位专家判断矩阵得到的各指标权重Wk和专家权重Pk*相乘，即为指标权重，则指标的群体决策权重为

W=WkPk*T.
（8）

2 建立评估指标体系

由图1可知，建立缔结层次结构模型是AHP法的基础和关键环节，对防空预警装备作战效能评估有着至关重要的全局作用，必须根据防空预警装备体系作战效能的定义，科学、独立、可行、全面地构建评估指标体系。

防空预警装备体系的定义：在联合防空作战背景下，为完成特定的预警监视任务，由功能上相互联系、相互作用的传感器分系统、信息传输分系统、信息处理分系统和指挥控制分系统组成的系统^［15］。防空预警装备体系作战效能定义：在一定的作战环境、编成部署、作战流程下，由代表性的人员使用预警装备体系完成规定作战任务的有效程度^［16］。本文主要对陆基对空情报雷达，空基预警机、气球载雷达，以及其信息传输处理系统和指挥控制系统构成的防空预警装备体系进行作战效能指标构建。

防空预警装备指标体系的建立应既能反映所要评估的具体防空装备体系的作战特点，又是在简化基础上的一般抽象结果，因此，必须满足以下原则条件：

（1） 科学性原则

所建立的指标是防空预警装备体系作战效能的主要能力，能够正确表达其度量，与防空预警装备体系主要作战性能发生的联系，使评估指标体系能够反映主要问题。

（2） 独立性原则

所确立的指标体系相互之间应该相对独立，减少重叠和相关性，这样做的目的是在评估时降低模型的复杂度，有利于获得准确性较高的数据，进而得出结论。

（3） 可行性原则

所确立的指标体系既要考虑评估的基本要求，更要考虑到实战情况下的具体可行性和适应性，不能是对指标体系过于理想化的想象，这样有利于模型在不同环境情况下和作战背景的建立。

（4） 全面性原则

所确定的指标在防空预警装备体系作战效能的主要性能方面不能有遗漏。

依据以上原则及柔性建模思想^［17］，从联合防空作战背景下，以完成特定的预警监视任务出发，运用AHP法的分层原理建立防空预警装备指标体系。以防空预警装备体系作战效能U为总目标，总目标包含6项一级指标：预警探测能力U1、信息对抗能力U2、指挥控制能力U3、信息传输能力U4、综合保障能力U5、机动投送能力U6。对这6项一级指标进行进一步剖析分解，对各种因素加以归纳整合，整理形成二级指标。建立如图3所示的多层次防空预警装备体系作战效能评估指标体系。

3 实例分析

以中国某一沿海地区预警装备体系防空作战为例，使用陆基对空情报雷达、空基预警机、气球载雷达，以及其信息传输处理系统和指挥控制系统构建的防空预警装备体系，完成2项任务：①对常规飞机、隐身飞机、战略轰炸机、巡航导弹、无人机，气球、飞艇等空中目标的警戒搜索；②对预警监视侦察区域内的各类目标实施连续稳定跟踪，为其他作战平台提供准确、连续、完整的敌我位置信息，将作战平台引导保障至作战区域。

根据防空作战的这2项任务，有3种不同装备部署方案可供选择，对比评估这3种装备部署方案，找到作战效能最优的装备部署方案。

3.1 一级指标对防空预警装备作战效能的权重分析

一级指标U1，U2，U3，U4，U5，U6对总目标防空预警装备作战效能U的分析如下：

3位专家构造的判断矩阵分别为

A1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢11/51/71/81/51/9511/31/31/31/77311118311535311/5199711/31/91⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥，

A2=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢11/31/31/51/51/7311/21/21/31/5321111/352111/21/5531211/3753531⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥，

A3=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢11/21/21/31/31/5211/21/21/21/322111/21/532111/21/5322211/3535531⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.

各判断矩阵的最大特征值对应的特征向量分别为

λmax1=7.616 4，λmax2=6.186 1，λmax3=6.300 5。

W'1=(0.876 1，0.392 5，0.100 2，0.066 3，0.115 3)T，W'2=(-0.841 3，-0.394 3，-0.212 4，0.244 0，-0.163 9，-0.072 0)T。W'3=(-0.708 5，-0.460 7，-0.349 0，-0.330 3，-0.210 3，-0.102 9)T。

根据判断矩阵的最大特征值，可算出一致性比例分别为CR1=0.260 7，CR2=0.030 0，CR3=0.048 5。CR1未通过一致性检验，CR2，CR3通过一致性检验。

求出归一化的特征向量，即为权重值：

W2=(0.436 4，0.204 5，0.110 2，0.126 6，0.085 0，0.037 3)T，W3=(0.327 8，0.213 1，0.161 4，0.152 8，0.097 3，0.047 6)T。

根据式（2），（3）可构建拓展判断矩阵A11，A21，A31，A41，A51，A61分别为

A11=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢11/51/71/81/51/9515/75/815/977/517/87/57/988/58/718/58/9515/75/815/999/59/79/89/51⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥，

A21=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢11/51/151/151/151/35511/31/31/31/71531113/71531113/71531113/72177/37/37/31⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥，

A31=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢13/71/71/71/71/77/311/31/31/31/3731111731111731111731111⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥，

A41=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢13/81/81/85/83/88/311/31/35/318311538311538/53/51/51/513/58/331/31/35/31⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥，

A51=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢13/51/51/251/59/55/311/31/151/335311/5192515515455311/5195/91/31/91/451/91⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥，

A61=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢17/91/91/271/811/99/711/71/211/631/79711/31/912721311/33816393199711/31/91⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.

根据式（5）可构建几何平均超传递判断矩阵为

AS1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1.000 00.379 80.124 80.077 70.119 70.180 02.633 21.000 00.328 60.204 70.315 20.474 08.012 43.042 91.000 00.622 80.959 01.442 212.866 14.886 11.605 81.000 01.539 92.315 98.355 23.173 01.042 80.649 41.000 01.503 95.555 52.109 80.693 40.431 80.664 91.000 0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.

求出归一化的特征向量（权重值）为

W1=（0.531 4，0.201 8，0.066 3，0.041 3，0.063 6，0.095 6)T.

根据式（6）可得专家的权作用为

Pk=(0.277 2，0.769 2，0.673 4).

代入式（7）可得归一化的专家权重为

Pk*=(0.161 2，0.447 3，0.391 5).

代入式（8）可得群体决策指标综合权重为

W=(0.409 2，0.207 4，0.123 2，0.123 1，0.086 4，0.050 7)T.

3.2 二级指标对一级指标的权重分析

同理可得，二级指标对一级指标预警探测能力、信息对抗能力、指挥控制能力、信息传输能力、综合保障能力、机动投送能力权重。

3.2.1 二级指标对一级指标预警探测能力权重分析

二级指标U11，U12，U13对一级指标预警探测能力U1分析如下：

构造的判断矩阵分别为

A1=⎡⎣⎢11/21/3211311⎤⎦⎥，A2=⎡⎣⎢111/2111/2221⎤⎦⎥，

A3=⎡⎣⎢1221/2111/211⎤⎦⎥。

一致性检验CR1=0.015 8，CR2=0，CR3=0。全部通过一致性检验。归一化的特征向量（权重值）为W1=(0.549 9，0.240 2，0.209 8)T，W2=(0.400 0，0.400 0，0.200 0)T，W3=(0.200 0，0.400 0，0.400 0)T。归一化处理得到专家权重Pk*=(0.301 6，0.349 2，0.349 2)。群体决策指标综合权重W=(0.427 8，0.296 0，0.276 2)T。

3.2.2 二级指标对一级指标信息对抗能力权重分析

二级指标U21，U22，U23，U24对一级指标信息对抗能力U2分析如下：

构造的判断矩阵分别为

A1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢111/21111/312311/21111⎤⎦⎥⎥⎥⎥，A2=⎡⎣⎢⎢⎢⎢111/32111/31/233112311⎤⎦⎥⎥⎥⎥，A3=⎡⎣⎢⎢⎢⎢11/21/51/4211/31/45311/34431⎤⎦⎥⎥⎥⎥.

一致性检验CR1=0.012 9，CR2=0.316 7，CR3=0.069 3。CR2未通过一致性检验，CR1，CR3通过一致性检验。归一化的特征向量（权重值）为

W1=(0.287 1，0.326 3，0.158 3，0.228 2)T，W3=(0.492 1，0.298 3，0.133 6，0.076 0)T.

构建几何平均超传递判断矩阵为

AS2=⎡⎣⎢⎢⎢⎢1.000 01.414 20.521 70.577 40.707 11.000 00.368 90.408 21.916 82.710 81.000 01.106 71.732 12.449 50.903 61.000 0⎤⎦⎥⎥⎥⎥.

求出归一化的特征向量（权重值）为

W2=(0.284 6，0.402 5，0.148 5，0.164 3)T.

归一化处理得到专家权重Pk*=(0.516 1，0.139 8，0.344 1)。群体决策指标综合权重 W =(0.357 3，0.327 3，0.148 4，0.167 0)T。

3.2.3 二级指标对一级指标指挥控制能力权重分析

二级指标U31，U32对一级指标指挥控制能力U3分析如下：

构造的判断矩阵分别为

A1=[1111]，A2=[11/221]，A3=[121/21].

一致性检验CR1=0，CR2=0，CR3=0。全部通过一致性检验。归一化的特征向量（权重值）为W1=(0.500 0，0.500 0)T，W2=(0.666 7，0.333 3)T。W3=(0.333 3，0.666 7)T。归一化处理得到专家权重Pk*=(0.333 3，0.333 3，0.333 3)。群体决策指标综合权重W=(0.500 0，0.500 0)T。

3.2.4 二级指标对一级指标信息传输能力权重分析

二级指标U41，U42，U43对一级指标信息传输能力U4分析如下：

构造的判断矩阵分别为

A1=⎡⎣⎢121/31/211/5351⎤⎦⎥，A2=⎡⎣⎢131/21/311/3231⎤⎦⎥，

A3=⎡⎣⎢1211/211/2121⎤⎦⎥.

一致性检验CR1=0.003 2，CR2=0.046 2，CR3=0。全部通过一致性检验。归一化的特征向量（权重值）为W1=(0.309 0，0.581 6，0.109 5)T，W2=(0.249 3，0.593 6，0.157 1)T，W3=(0.250 0，0.500 0，0.250 0)T。归一化处理得到专家权重Pk*=(0.365 2，0.257 8，0.377 0)。群体决策指标综合权重W=(0.271 4，0.553 9，0.174 7)T。

3.2.5 二级指标对一级指标综合保障能力权重分析

二级指标U51，U52对一级指标综合保障能力U5分析如下：

构造的判断矩阵分别为

A1=[11/221]，A2=[1111]，A3=[131/31].

一致性检验CR1=0，CR2=0，CR3=0。全部通过一致性检验。归一化的特征向量（权重值）为

W1=(0.666 7，0.333 3)T，W2=(0.500 0，0.500 0)T，W3=(0.750 0，0.250 0)T。归一化处理得到专家权重Pk*=(0.333 3，0.333 3，0.333 3)。群体决策指标综合权重 W =(0.638 9，0.361 1)T。

3.2.6 二级指标对一级指标机动投送能力权重分析

二级指标U61，U62对一级指标机动投送能力U6分析如下：

构造的判断矩阵分别为

A1=[11/221]，A2=[11/331]，A3=[11/221].

一致性检验CR1=0，CR2=0，CR3=0。全部通过一致性检验。归一化的特征向量（权重值）为W1=(0.666 7，0.333 3)T，W2=(0.750 0，0.250 0)T。W3=(0.666 7，0.333 3)T。归一化处理得到专家权重Pk*=(0.333 3，0.333 3，0.333 3)。群体决策指标综合权重W=(0.694 4，0.305 6)T。

3.3 防空预警装备作战效能值计算

二级指标的作战效能值是在给定的作战环境、作战条件、作战威胁等任务场景下，进一步剖析分解，整理形成三级指标甚至四级指标乘以权重的数值，三级指标或四级指标是定量的数值，例如，目标探测能力可分解为目标发现概率、空域覆盖系数和空域重叠系数。本文重点研究权重问题，这里不做进一步分解和数值获取。假定3个装备部署方案已依据结构模型计算出作战能力效能值（二级指标），其取值范围在0~1之间，其作战能力效能值如表1所示。

根据表 1中各二级指标的效能值和算出的二级指标权重，可得一级指标效能值；同理，根据一级指标效能值和算出的一级指标权重，可得防空预警装备作战整体效能值。如表2所示。

由表2可知，各方案的防空预警作战效能值分别为效能E1=0.569 7，E2=0.646 8，E3=0.582 8。E2>E3>E1，部署方案2效能最优。通过数据实例分析可以看出，改进AHP群体决策法解决了个别专家判断矩阵（分别是一级指标U1，U2，U3，U4，U5，U6对U的判断矩阵A1、二级指标U21，U22，U23，U24对一级指标U2的判断矩阵A2）一致性不通过的问题，大大节约了评估时间和评估过程中的不确定性，保留了专家的原始意见。并用一致性比例CRk来确定群体决策中专家权作用的比例，根据式（6）可知，一致性比例CRk越大，专家权作用的比例Pk越小，最大程度地做到各指标的权重客观准确，实例分析证明改进AHP的群体决策方法可行有效。

4 结束语

本文针对传统AHP法步骤流程存在的权重分配一致性通过问题、主观性问题，提出了一种改进AHP的群体决策方法，该方法在保留专家意见的同时，又能通过一致性检验，并引入一致性比例进行群体决策，确定了专家权作用值，很大程度上降低了专家的主观性，提高了评估的可信性。文中依据科学性、独立性、可行性、全面性等原则构建了防空预警装备作战效能指标体系，给出的实例分析说明了该方法的有效性和可行性。